没有一个数学家像欧拉在十八世纪的最合适时间中所做过的那样，在数学的不管是纯粹的还是应用的所有分支中，达到了一个无可争议的领导地位。在 1745 年他的老迈的、通常并非一个谦虚者的老师约翰·伯努利，称呼他为“数学王子（mathematicorum princeps）”。达朗贝尔则是以一种可笑的厌恶态度评价他是“有魔力的人（Ce diable d'homme）”。这是达朗贝尔 1769 年写信给格朗日时说的，他发现他自己陷进了自己引以为骄傲的一些结果中，而这却是早在欧拉的预料之中的。
在这里我们关心的是他在数论方面的工作，即便他没有做其他什么，就单单这一项已为他赢得了数学史上的一个卓著的地位；然而这只占他七十多卷全集中的四卷。他似乎间歇性地以此为首要研究对象。或许在他作为约翰·伯努利的徒弟时对此还没有充分准备好，但在其职业生涯中的早期就已从事了这项研究，并且它一直到生命的尽头都是他钟爱的课题。他充分了解，这个课题对他的同代人而言已不再像在十七世纪中那样受欢迎了。但是欧拉孜孜不倦地告诉他的读者说，他感到没有必要为此所耗费的时间和精力而抱憾，真理是统一的，不可能它的一个方面受到忽视而不伤害到整体。
展开剩余73%欧拉在算术方面工作的实质部分只是，也正好是对费马在他那时发表了的著述中的陈述给出证明。我们在之前对费马原来证明的尝试性重建，大体上是建立在看起来正确却并没有得到证实的假设基础上 的，这个假设是说，这些证明与那些后来由欧拉得到的证明相距不远。因此在这里便没有必要把这些证明详细重述了；只要把欧拉的这些发现按编年简要说明就够了。除了他对彼得堡科学院的学术报告的提交日期有时会与它们发表的日期相差许多年外，对此的一个重要来源是他的通信，首要的是与哥德巴赫的通信，它在1843年由欧拉的曾外孙 P-H. Fuss 出版；它构成了《物理与数学通信 （Correspondance Mathematique et Physique》的第一卷；第二卷包含了由伯努利们给欧拉、哥德巴赫和 N. Fuss 的信件；哥德巴赫关于素数和的猜想就出现在那里的哥德巴赫的1742年6月7日的信中。一本对此同样的通信但却更完整的富于注释的书则属于 A.P. Juskevič 和 E. Winter。在欧拉与伯努利之间更多的信件包含在1862年欧拉的《遗作 （Opera Postuma）》中和在从1903年到1907年的Bibl.Math. 的 G. Eneström 的文章中。欧拉与克莱罗、达朗贝尔以及拉格朗日的信件已以 Eu.IV A-5 完整形式出版；还有与各种同代人的通信（以原始文本 和俄文译文）构成了一卷《Pis'ma k Učénym》， Moskva-Leningrad 1963 （PkU）； Eu.IV A-1 是欧拉浩大信件的一个完整的贮藏库，并附有简短提要。只要是涉及数论的，至少是从1730年到1756年的，一定可以在他给哥德巴赫的信中找到。
哥德巴赫于1690年生在柯尼斯堡（Königsberg）；是一个多才多艺、具鉴赏力、有才干的男子汉，显然有良好教养，并且富有，在他年轻时旅行过广阔的地区，到各处寻访饱学之士和科学家。1721年他在威尼斯遇到了尼古拉斯·伯努利；之后不久就开始与他通信，澳洲幸运8app而后也与其弟丹尼尔通信。 在1725年在将他们两人带到彼得堡的事上他起了很大的作用，他比这两兄弟早到那里几个月；他似乎被这两兄弟，还有很快以后的欧拉，视为有影响力的朋友和保护人；终其一生欧拉一直以一种混合了重视、敬重和友爱的令人感动的方式对待他。或许哥德巴赫最初踏上去俄罗斯之路仅仅出于好奇；但直到1764年逝世他一直留在了那里，时间在彼得堡时而在莫斯科；他首要的业余爱好是语言和数学，更特别是数论、微积分和级数理论；这使得他成了欧拉的一位极其宝贵的通信者。
哥德巴赫在1728年离开彼得堡到了莫斯科；他与欧拉的通信开始于1729 年；最初完全使用拉丁文，甚至在1732年哥德巴赫回到彼得堡后仍然继续，当然 不怎么频繁，在那时他们几乎每一天都必须要见到对方。突然，在1740年8月1 日欧拉不知不觉地用德语写下了一个请求帮助的紧急请求（“Die Geographie ist mir fatal（地理对我来说是要命的）”）；当他想到因制图工作已丢掉了一只眼，他现在要求不再被分派去做类似的工作，这不仅与他正规的职责背道而 驰，而且对他的视力的威胁是毁灭性的。哥德巴赫公正地给了警告，并在这同一天给了欧拉回信，也是用的德文。在接下来的几年，欧拉到了柏林，通信不断地继续着，基本上用德语，直到接近哥德巴赫生命的尽头才停止。然而他们的德语不仅点缀着法语词汇，而且在往写下了拉丁文，特别在数学的行文中。这里是一个样本，取自欧拉到达柏林后的第一封信（1741年9月9日）；在介绍了国王和皇族给予他的亲切接见和其他各种事情之后，欧拉对他关于数论和“欧拉积分”最新想法进行了叙述：“Von den divisoribus quantitatis aa ± mbb， si a et b sint numeri inter se primi， habe ich auch curieuse proprietates entdeckt， welche etwas in recessu zu haben scheinen...” “关于 的因子，如果 和 互素，我已发现了一些令人好奇的性质，那里似乎隐藏着一些秘密......” 这里的“令人好奇的性质 (curieuse proprietates)”是用拉丁文写的。
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